線形代数例

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 1

公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して $(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

ステップ 2.2

$8$ に $0$ をかけます。

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

ステップ 2.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

ステップ 2.5

$8$ に $1$ をかけます。

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

ステップ 2.6

$8$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{0 + 64}$

ステップ 2.7

$0$ と $64$ をたし算します。

$r = \sqrt{64}$

ステップ 2.8

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 2.9

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = 8$

ステップ 3

参照角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

ステップ 4

方程式には未定義の分数があります。

未定義

ステップ 5

象限を求めます。

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ステップ 5.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

ステップ 5.2

$8$ に $0$ をかけます。

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

ステップ 5.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$(0, 1 \cdot 8)$

ステップ 5.4

$8$ に $1$ をかけます。

$(0, 8)$

ステップ 5.5

y座標が正で、x座標が $0$ なので、点は第一象限と第四象限の間のy軸上にあります。象限は右上から始まる反時計回りに名前が付けられています。

象限 $1$ と $2$ の間

ステップ 6

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 7

$r$ 、 $n$ 、および $θ$ を公式に代入します。

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ステップ 7.1

${(8)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{θ + 2 π k}{3}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

ステップ 7.2

$c$ と $\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

ステップ 7.3

$i$ と $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

ステップ 7.4

$s$ と $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

ステップ 7.5

括弧を削除します。

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ステップ 7.5.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

ステップ 7.5.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

ステップ 7.5.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

ステップ 7.5.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

ステップ 7.5.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

ステップ 7.5.6

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

ステップ 7.5.7

括弧を削除します。

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

ステップ 8

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 8.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

ステップ 8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

ステップ 8.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

共通因数を約分します。

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

ステップ 8.3.2

式を書き換えます。

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

ステップ 8.4

指数を求めます。

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

ステップ 8.5

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 8.5.1

$0$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

ステップ 8.5.2

$0$ に $π$ をかけます。

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

ステップ 9

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 9.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$k = 1 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

ステップ 9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

ステップ 9.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

共通因数を約分します。

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

ステップ 9.3.2

式を書き換えます。

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

ステップ 9.4

指数を求めます。

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

ステップ 9.5

$2$ に $1$ をかけます。

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

ステップ 10

$k = 2$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 10.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$k = 2 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

ステップ 10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

ステップ 10.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

共通因数を約分します。

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

ステップ 10.3.2

式を書き換えます。

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

ステップ 10.4

指数を求めます。

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

ステップ 10.5

$2$ に $2$ をかけます。

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

ステップ 11

解をまとめます。

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

線形代数 例

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